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				精英家教網(wǎng)設(shè)直線過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點F，且交C于點M，N，設(shè)
          MF
          =λ
          FN
          (λ＞0)          ．
          （I）若p=2，λ=4，求MN所在的直線方程；
          （II）若p=2，4≤λ≤9，求直線MN在y軸上截距的取值范圍；
          （III）拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸交于點E，求證：
          EF
          與
          EM
          -λ
          EN
          的夾角為定值．			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（I）p=2時，拋物線y2=4x，F(xiàn)（1，0），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
          MF
          =λ
          FN
          (λ＞0)得(1-x1，y1)=λ(x2-1，-y2)，即
          1-x1=λ(x2-1)  ①
          y1=-λy2②
          ，由此能求出MN所在的直線方程．
          （II）由p=2得直線MN方程為(λ-1)y=2
          		λ
          (x-1)或(λ-1)y          =-2
          		λ
          (x-1)          ，由此能求出直線MN在y軸上截距的取值范圍．
          （III）設(shè)M，N在直線l上的射影為M’，N’，則有
          EM
          =
          EM‘
          +
          M’M
          ，
          EN
          =
          EN‘
          +
          N’N
          ，由
          MM‘
          =λ
          NN’
          ，知
          EM
          -λ
          EN
          =
          EM’
          -λ
          EN‘
          ，由此能求出
          EF
          與
          EM
          -λ
          EN
          的夾角為定值90°．
          解答：解：（I）p=2時，拋物線y2=4x，F(xiàn)（1，0），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
          MF
          =λ
          FN
          (λ＞0)得(1-x1，y1)=λ(x2-1，-y2)，即
          1-x1=λ(x2-1)  ①
          y1=-λy2②

          由②得y12=λ2y22，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x1=λ2x2．③
          聯(lián)立①、③解得x2=
          1
          λ
          ，x1=λ，依題意有λ＞0          ．
          ∴M(λ，2
          		λ
          )，或M(λ，-2
          		λ
          )，而F(1，0)，當(dāng)λ=4時，
          得直線MN的方程為4x-3y-4=0或4x+3y-4=0；(5分)

          （II）由（I）及p=2得直線MN方程為(λ-1)y=2
          		λ
          (x-1)或(λ-1)y          =-2
          		λ
          (x-1)          ，
          當(dāng)λ∈[4，9]時，MN在y軸上的截距為
          2
          		λ
          λ-1
          或-
          2
          		λ
          λ-1
          ，
          令f(x)=
          2
          		x
          x-1
          ，則f′(x)=
          -x-1
          		x
          (x-1)2
          ＜0
          可知
          2
          		λ
          λ-1
          在[4，9]上是遞減的，
          ∴
          3
          4
          ≤
          2
          		λ
          λ-1
          ≤
          4
          3
          ，-
          4
          3
          ≤-
          2
          		λ
          λ-1
          ≤-
          3
          4
          ，
          直線MN在y軸上截距的變化范圍為[-
          4
          3
          ，-
          3
          4
          ]∪[
          3
          4
          ，
          4
          3
          ]．(5分)

          （III）設(shè)M，N在直線l上的射影為M’，N’，則有
          EM
          =
          EM‘
          +
          M’M
          ，
          EN
          =
          EN‘
          +
          N’N
          ，
          由于
          MM‘
          =λ
          NN’
          ，∴
          EM
          -λ
          EN
          =
          EM’
          -λ
          EN‘
          ，
          ∵
          EF
          ⊥(
          EM‘
          -λ
          EN’
          )          ，∴
          EF
          ⊥(
          EM
          -λ
          EN
          )          ，
          ∴
          EF
          與
          EM
          -λ
          EN
          的夾角為定值90°．
          點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知拋物線C：y=x2+4x+
          7
          2
          ，過拋物線C上點M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點M的法線．
          （1）若拋物線C在點M的法線的斜率為-
          1
          2
          ，求點M的坐標(biāo)（x0，y0）；
          （2）設(shè)P（-2，4）為C對稱軸上的一點，在C上一定存在點，使得C在該點的法線通過點P．試求出這些點，以及C在這些點的法線方程．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          拋物線C的方程為y=ax2（a＜0），過拋物線C上一點P（x0，y0）（x0≠0）作斜率為k1、k2的兩條直線分別交拋物線C于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1），
          （1）設(shè)直線AB上一點M，滿足
          BM
          =λ
          MA
          ，證明線段PM的中點在y軸上；
          （2）當(dāng)λ=1時，若點P的坐標(biāo)為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標(biāo)y1的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)拋物線C：y=x2，F(xiàn)為焦點，l為準(zhǔn)線，準(zhǔn)線與y軸交點為H
          （1）求|FH|；
          （2）過點H的直線與拋物線C交于A，B兩點，直線AF與拋物線交于點D．
          ①設(shè)A，B，D三點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，計算：x1•x2及x1•x3的值；
          ②若直線BF與拋物線交于點E，求證：D，E，H三點共線．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2009年浙江省杭州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          設(shè)直線過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點F，且交C于點M，N，設(shè)．
          （I）若p=2，λ=4，求MN所在的直線方程；
          （II）若p=2，4≤λ≤9，求直線MN在y軸上截距的取值范圍；
          （III）拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸交于點E，求證：的夾角為定值．

          

			
          

			
          
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