Question

如圖，已知橢圓C的中心在原點，其一個焦點與拋物線的焦點相同，又橢圓C上有一點M（2，1），直線l平行于OM且與橢圓C交于A、B兩點，連MA、MB．
（1）求橢圓C的方程．
（2）當MA、MB與x軸所構成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的焦點，又橢圓C上有一點M（2，1），由此可求出橢圓方程．
（2）設直線在y軸上的截距為m，則直線，由直線l與橢圓C交于A、B兩點，可導出m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}，設MA、MB的斜率分別為K₁，K₂，K₁+K₂=0，然后結合題設條件和根與系數(shù)的關系知MA，MB與x軸始終圍成等腰三角形，從而得到m的取值范圍．
解答：解：（1）拋物線的焦點，又橢圓C上有一點M（2，1）∴橢圓方程為，
（2），設直線在y軸上的截距為m，則直線
直線l與橢圓C交于A、B兩點，
∴m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}，設MA、MB的斜率分別為K₁，K₂，∴K₁+K₂=0，∵
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故MA，MB與x軸始終圍成等腰三角形．∴m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．