Question

（本小題滿分14分）

 

已知圓C經過點 ，圓心落在  軸上（圓心與坐標原點不重合），且與直線  相切．

（Ⅰ）求圓 C 的標準方程；

（Ⅱ）求直線Y=X 被圓C所截得 的弦長；

（Ⅲ）l₂是與l₁垂直并且在Y軸上的截距為b的直線，若）l₂與圓 C 有兩個不同的交點，求b的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設圓   的圓心坐標為 ，半徑為 ，則由題意得

  解得  或 （舍去），．

∴ 圓  的標準方程為 ．                             5分

（Ⅱ）取所截弦的中點，并和圓心相連結，則該線段就是圓心到弦所在直線的距離（弦心距）．再連結圓心和弦的一個端點（所連線段即為一條半徑），易知由弦心距、半徑和弦的一半可構成一個直角三角形．

∵ 由點到直線的距離公式可求得弦心距為 ，

∴ 由勾股定理可求得弦的一半的長度為 ．

∴ 所求的弦長為 ．                                                 9分

（Ⅲ）易知直線  的方程為 ．                                10分

∵ 直線  與圓  有兩個不同的交點， ∴ 圓心到  的距離小于半徑 ．

∴ ． 整理得 ．                   12分

解得  的取值范圍為 ．                           14分

【解析】略