Question

設(shè)直線過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且交C于點(diǎn)M，N，設(shè)．
（I）若p=2，λ=4，求MN所在的直線方程；
（II）若p=2，4≤λ≤9，求直線MN在y軸上截距的取值范圍；
（III）拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)E，求證：的夾角為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）p=2時(shí)，拋物線y²=4x，F(xiàn)（1，0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），，由此能求出MN所在的直線方程．
（II）由=，由此能求出直線MN在y軸上截距的取值范圍．
（III）設(shè)M，N在直線l上的射影為M’，N’，則有，，由，知，由此能求出的夾角為定值90°．
解答：解：（I）p=2時(shí)，拋物線y²=4x，F(xiàn)（1，0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

由②得y₁²=λ²y₂²，∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴x₁=λ²x₂．③
聯(lián)立①、③解得．
（II）由（I）及=，
當(dāng)，
令
（III）設(shè)M，N在直線l上的射影為M’，N’，則有，，
由于，∴，
∵，∴，
∴的夾角為定值90°．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．