第10講 不等式
不等式這部分知識，滲透在中學數(shù)學各個分支中，有著十分廣泛的應用．因此不等式應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，對數(shù)學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用．在解決問題時，要依據(jù)題設與結論的結構特點、內在聯(lián)系、選擇適當?shù)慕鉀Q方案，最終歸結為不等式的求解或證明．不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數(shù)學之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明。
1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質則是不等式變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質和圖象都與不等式的解法密切相關，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，互相轉化．在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一．通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數(shù)、數(shù)形結合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法可以使得分類標準明晰．
2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎，利用不等式的性質及函數(shù)的單調性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)形結合是解不等式的常用方法．方程的根、函數(shù)的性質和圖象都與不等式的解密切相關，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，相互轉化和相互變用．
3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法，可以使分類標準更加明晰．
4．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設、題斷的結構特點、內在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點．比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)．
5．證明不等式的方法多樣，內容豐富、技巧性較強．在證明不等式前，要依據(jù)題設和待證不等式的結構特點、內在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法．通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運算而導出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因導果”，為溝通聯(lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的．
6．不等式應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數(shù)的最值時，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件．利用不等式解應用題的基本步驟：1.審題，2.建立不等式模型，3.解數(shù)學問題，4.作答。
7．通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應用，深化數(shù)學知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學生數(shù)學素質及創(chuàng)新意識．
二、方法技巧
1.解不等式的基本思想是轉化、化歸，一般都轉化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解，。
2.解含參數(shù)不等式時，要特別注意數(shù)形結合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活運用。
3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調整放縮的度。
4．根據(jù)題目結構特點，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。
b)∈M，且對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．
分析：讀懂并能揭示問題中的數(shù)學實質，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點？
解：依題可知，本題等價于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)?|y-1|+(y+3)
(2)當1≤y≤3時，
三、例題分析
所以當y=1時，= 4．
簡評：題設條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認清集合元素的本質屬性，然后結合條件，揭示
其數(shù)學實質．即求集合M中的元素滿足關系式
例2．已知非負實數(shù)，滿足且，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識可得，選D
例3．數(shù)列由下列條件確定：
（1）證明：對于,
（2）證明：對于．
證明：（1）
（2）當時，
=。
例4．解關于的不等式：
分析：本例主要復習含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關鍵不是對參數(shù)進行討論，而是去絕對值時必須對末知數(shù)進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：當
。
例5．若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍．
分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應先將f(x)的表達形式寫出來．即可求得f(-2)的表達式，然后依題設條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．
解：因為y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，所以可設y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一(利用基本不等式的性質)
不等式組(Ⅰ)變形得
(Ⅰ)
所以f(-2)的取值范圍是[6，10]．
解法二(數(shù)形結合)
建立直角坐標系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分．因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當直線4a-2b-f(-2)=0過點A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ①
所以 3≤3f(-1)≤6． ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
簡評：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現(xiàn)以下一種錯解：
2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)對這類問題的求解關鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學結構，然后依其數(shù)學結構特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質，利用不等式的基本性質、數(shù)形結合、方程等數(shù)學思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數(shù)學的素養(yǎng)一定會迅速提高．
例6．設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=x，均不相交.試證明對一切都有.
分析：因為x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．
證明：由題意知，a≠0．設f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則
又二次方程ax2+bx+c=±x無實根，故
Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．
簡評：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關的不等式問題時，如果針對題設條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．
例7．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛？
解：設2001年末的汽車保有量為，以后每年末的汽車保有量依次為，每年新增汽車萬輛。由題意得
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