Question

【題目】已知函數(shù)（且）.

（1）判斷的奇偶性并證明；

（2）若，是否存在，使在的值域為？若存在，求出此時的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)；證明見解析；（2）存在，.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域，然后利用奇偶性的定義驗證函數(shù)的奇偶性；

（2）由，可得出，利用復(fù)合函數(shù)可分析出函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，由題意得，于是得出關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，即關(guān)于的方程在上有兩個不等的實根，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象列出關(guān)于的不等式組，解出即可.

（1）函數(shù)是奇函數(shù)；證明如下：

由解得或，所以，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱．

，

因此，函數(shù)為奇函數(shù)；

（2）由題意知，，且，.

令在上為增函數(shù)，

而函數(shù)為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，

假設(shè)存在，使得題意成立，則函數(shù)在上為減函數(shù)，

則有，即，．

所以、是方程的兩正根，

整理得在有個不等根和，由韋達(dá)定理得，則.

令，則函數(shù)在有個零點，

則，解得.

因此，實數(shù)的取值范圍是.