Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；
（3）證明.

Answer 1

（1）的單減區(qū)間是，單增區(qū)間是；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）函數(shù)問題先求定義域，當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)中含有絕對值符號(hào)，故要考慮或兩種情況，接著求分別，令，求出其單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，
，即，構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最小值，必須對分類討論，從而求出的最小值；（3）由（2）得， ，當(dāng)時(shí)，不等式左邊，所以不等式成立，當(dāng)時(shí)，令代入，用放縮法證明不等式成立.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
，
在上是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，
，令得，，
在上單減，在上單增
綜上得，的單減區(qū)間是，單增區(qū)間是．      4分
（2）當(dāng)時(shí)，

即，設(shè)  5分
當(dāng)時(shí)，，不合題意；    6分
當(dāng)時(shí)，
令得，，
時(shí)，，在上恒成立，在上單增，
，故符合題意；  8分
②當(dāng)時(shí)，，對，，，
故不合題意．綜上，的最小值為．               9分
(3)由（2）得，   ①
證明：當(dāng)n＝1時(shí)，不等式左邊＝2－ln3＜2＝右邊，所以不等式成立．
當(dāng)n≥2時(shí)，令①式中得


，
，
，
所以當(dāng)n≥2時(shí)不等式成立．
命題得證．                       14分