Question

已知向量m＝(e^x，ln x＋k)，n＝(1，f(x)]，m∥n(k為常數(shù))，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸垂直，F(x)＝xe^xf′(x)．
(1)求k的值及F(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知函數(shù)g(x)＝－x²＋2ax(a為正實數(shù))，若對于任意x₂∈[0,1]，總存在x₁∈(0，＋∞)，使得g(x₂)<F(x₁)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）k＝1，F(x)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）

(1)由已知，得f(x)＝，∴f′(x)＝，由已知，f′(1)＝＝0，∴k＝1，∴F(x)＝xe^xf′(x)＝x＝1－xln x－x，所以F′(x)＝－ln x－2，由F′(x)＝－ln x－2≥0⇒0<x≤，由F′(x)＝－ln x－2≤0⇒x≥∴F(x)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
(2)∵對于任意x₂∈[0,1]，總存在x₁∈(0，＋∞)，
使得g(x₂)<F(x₁)，∴g(x)_max<F(x)_max .
由(1)知，當(dāng)x＝時，F(x)取得最大值F＝1＋.
對于g(x)＝－x²＋2ax，其對稱軸為x＝a，
當(dāng)0<a≤1時，g(x)_max＝g(a)＝a²，∴a²<1＋，從而0<a≤1，當(dāng)a>1時，g(x)_max＝g(1)＝2a－1，∴2a－1<1＋，從而1<a<1＋.
綜上可知：實數(shù)a的取值范圍是.