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        1. 【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N分別為AB,BC的中點.

          (1)求證:平面B1MN⊥平面BB1D1D;
          (2)當點P在DD1上運動時,是否都有MN∥平面A1C1P,證明你的結論;
          (3)若P是D1D的中點,試判斷PB與平面B1MN是否垂直?請說明理由.

          【答案】
          (1)證明:連接AC,則AC⊥BD,

          又M,N分別是AB,BC的中點,

          ∴MN∥AC,∴MN⊥BD.

          ∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體,∴BB1⊥平面ABCD,

          ∵MN平面ABCD,∴BB1⊥MN,

          ∵BD∩BB1=B,∴MN⊥平面BB1D1D,

          ∵MN平面B1MN,

          ∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.


          (2)當點P在DD1上移動時,都有MN∥平面A1C1P.

          證明如下:

          在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=CC1,AA1∥CC1

          ∴四邊形AA1C1C是平行四邊形,

          ∴AC∥A1C1

          由(1)知MN∥AC,

          ∴MN∥A1C1

          又∵MN面A1C1P,A1C1平面A1C1P,

          ∴MN∥平面A1C1P;


          (3)證明:過點P作PE⊥AA1,則PE∥DA,連接BE,

          ∵DA⊥平面ABB1A1,∴PE⊥平面ABB1A1,即PE⊥B1M,

          又∵BE⊥B1M,∴B1M⊥平面PEB,

          ∴PB⊥MB1,

          由(1)中MN⊥平面DD1B1B,得PB⊥MN,

          所以PB⊥平面MNB1


          【解析】1、由已知可得BB1⊥平面ABCD,根據(jù)線面垂直的判定定理可得證MN⊥平面BB1D1D,即得證平面B1MN⊥平面BB1D1D。
          2、根據(jù)線面平行的判定定理可得證,當點P在DD1上移動時,都有MN∥平面A1C1P。
          3、根據(jù)題意作輔助線:過點P作PE⊥AA1,則PE∥DA,連接BE,由已知可得證,PE⊥B1M。再由線面垂直的性質定理得到PB⊥MB1利用(1)的結論可得PB⊥MN,根據(jù)線面垂直的判定定理可得證PB⊥平面MNB1
          【考點精析】認真審題,首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行),還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想)的相關知識才是答題的關鍵.

          練習冊系列答案
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