Question

【題目】(2017吉林延邊州模擬)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.

(1)求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡M的方程;

(2)P為軌跡M上的動(dòng)點(diǎn),△PBC的外接圓為☉O1,當(dāng)點(diǎn)P在軌跡M上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)O1到x軸的距離的最小值.

Answer 1

【答案】(1)=1(y≠0)；(2).

【解析】試題分析：

（1）分析題意可得動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，然后求出后可得橢圓的方程．（2）設(shè)P(x0,y0)，可求得線段PB的垂直平分線方程，然后與線段BC的垂直平分線方程聯(lián)立后可得兩直線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，此交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即為點(diǎn)O1到x軸的距離．然后根據(jù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得所求的最值．

試題解析：

(1)根據(jù)題意知，

∴動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，不包括橢圓與x軸的交點(diǎn)．

設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0且y≠0)，

則2c=2，2a=4，

∴a=2，c=1，

∴b=．

∴動(dòng)點(diǎn)A的軌跡M的方程為=1(y≠0)．

(2)設(shè)P(x0,y0)，不妨設(shè)0<y0≤，

則線段PB的垂直平分線方程為y=-，

線段BC的垂直平分線方程為x=0，

兩條垂線方程聯(lián)立求得y=．

∵=1，

∴y=．

∴☉O1的圓心O1到x軸的距離為d=．

又函數(shù)在區(qū)間(0,內(nèi)單調(diào)遞減，

∴當(dāng)y0=時(shí)，有最小值，且ymin=．

∴點(diǎn)O1到x軸的距離的最小值為．