Question

【題目】如圖3，是一個(gè)直角梯形，，為邊上一點(diǎn)，、相交于，，，．將△沿折起，使平面⊥平面，連接、，得到如圖4所示的四棱錐．

（Ⅰ）求證：⊥平面；

（Ⅱ）求直線與面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】【試題分析】(I)在中,求得,由此證得,,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到平面,即,由此可證得平面.(2) O為原點(diǎn)，OA、OD、OB所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系通過計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量計(jì)算得線面角的正弦值,再利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為余弦值.

【試題解析】

（Ⅰ）在中，，，所以

同理，從而，

又因?yàn)?/span>，所以是平行四邊形，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面=AE，，

所以平面

又平面，所以

，

所以

（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知，直線OA、OB、OD兩兩互相垂直，因此，以O為原點(diǎn)，OA、OD、OB所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)

則，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

解得，，取

所以直線與面所成角的余弦值為．

（方法二）由（Ⅰ）可知，四邊形的面積

連接，則△的面積，

三棱錐的體積

△的面積

設(shè)到平面的距離為，則，

直線與面所成角的正弦值為，余弦值為