Question

【題目】已知函數(shù)，是常數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程，并證明對(duì)任意，切線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；

（Ⅱ）證明：時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)、，且．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見(jiàn)解析；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程，再根據(jù)方程判斷切線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)．（Ⅱ）由題意得函數(shù)在上都為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得在上有一個(gè)零點(diǎn)．由于，則，利用導(dǎo)數(shù)可得，再根據(jù)單調(diào)性可得結(jié)論成立．

試題解析：

（Ⅰ）由條件得，

∴，

又，

∴所求的切線方程為，

即．

將切線方程變形為，

令時(shí)，可得，

故切線過(guò)定點(diǎn)．

（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)都單調(diào)遞增．

又時(shí)，，

若且，則，

∴在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，從而在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)且時(shí)，，

當(dāng)且時(shí)，，

∴在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，從而在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．

∵，

∴，

∴

，

∴，

∵在區(qū)間單調(diào)遞增，

∴，故得．