Question

【題目】已知橢圓 上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最大值是最小值的倍，且點(diǎn)在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)任作一條直線，與橢圓交于不同于點(diǎn)的、兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、.試探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)橢圓上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最大值和最小值分別為，，據(jù)此可得，設(shè)橢圓的方程為：，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上可得橢圓的方程為.

(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：即，，為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn).聯(lián)立直線方程與橢圓方程有.結(jié)合韋達(dá)定理可得.由可得，則.綜上可知.

試題解析：

(Ⅰ)因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最大值和最小值分別為，，所以依題意有：，

∵，∴.故可設(shè)橢圓的方程為：，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以將其代入橢圓的方程得.

∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)依題意，直線不可能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為：即，

，為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn).

將代入方程化簡(jiǎn)得：.

所以，.

.

又由 ，解得，，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.

因此，與的關(guān)系為：.