【題目】已知
是平面內(nèi)凸三十五邊形的35個頂點，且中任何兩點之間的距離不小于
. 證明：從這35個點中可以選出五個點，使得這五個點中任意兩點之間的距離不小于3．
【答案】見解析
【解析】
先證明一個引理
引理 設(shè)
為
這35個點中的任意一點．則在余下的34個點中，至多六個點與點的距離小于3．
證明 用反證法.
如圖，假設(shè)有7個點(不妨設(shè)為
)與點的距離小于3．
由題設(shè)知
.
故 
這六個角中至少有一個角不大于
（不妨設(shè)
）.
設(shè)
，
.則
.
根據(jù)對稱性不妨設(shè)
.
由于
，因此，
在區(qū)間
)上為增函數(shù)．
故
.
從而
，與條件矛盾.
回到原題．
根據(jù)引理，從點
出發(fā)的34條線段
中至多有6條線段的長度小于3，即至少有28條線段的長度不小于3．不妨設(shè)線段
的長度不小于3.
再考慮從點
出發(fā)的27條線段
．同理，至少有21條線段的長度不小于3．不妨設(shè)線段
的長度不小于3．
再考慮從點
出發(fā)的20條線段
．同理，至少有14條線段的長度不小于3．不妨設(shè)線段
的長度不小于3．
再考慮從點
出發(fā)的13條線段
．同理，至少有7條線段的長度不小于3．不妨設(shè)線段
的長度不小于3．
這樣得到五個點、、、、
，其中任意兩點之間的距離不小于3．
期末沖刺100分創(chuàng)新金卷完全試卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】將函數(shù)
的圖象向左平移
個單位，再把圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍（縱坐標(biāo)不變），得到
的圖象，則關(guān)于的圖象，下列結(jié)論不正確的是
A. 周期為
B. 關(guān)于點
對稱
C. 在
單調(diào)遞增 D. 在
單調(diào)遞減
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號，鼓勵學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系，在高三年級中隨機(jī)選取
名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不少于
小時的有
人，在這人中分?jǐn)?shù)不足
分的有
人；在每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不足于小時的人中，在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足分的占
.
（1）請完成
列聯(lián)表；并判斷是否有
的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時間有關(guān)”；
分?jǐn)?shù)不少于 | 分?jǐn)?shù)不足 | 合計 | |
線上學(xué)習(xí)時間不少于 | |||
線上學(xué)習(xí)時間不足 | |||
合計 |
（2）在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不足于分的學(xué)生中，按照分層抽樣的方法，抽到線上學(xué)習(xí)時間不少于小時和線上學(xué)習(xí)時間不足小時的學(xué)生共
名，若在這名學(xué)生中隨機(jī)抽取
人，求這人每周線上學(xué)習(xí)時間都不足小時的概率.（臨界值表僅供參考）
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（參考公式
，其中
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】拿破侖為人好學(xué)，是法蘭西科學(xué)院院士，他對數(shù)學(xué)方面很感興趣，在行軍打仗的空閑時間，經(jīng)常研究平面幾何。他提出了著名的拿破侖定理：以三角形各邊為邊分別向外（內(nèi)）側(cè)作等邊三角形，則它們的中心構(gòu)成一個等邊三角形。如圖所示，以等邊
的三條邊為邊，向外作
個正三角形，取它們的中心
，順次連接，得到
，圖中陰影部分為與的公共部分。若往
中投擲一點，則該點落在陰影部分內(nèi)的概率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2018年“雙十一”期間，某商場舉辦了一次有獎促銷活動，顧客消費每滿1000元可參加一次抽獎(例如：顧客甲消費930元，不得參與抽獎；顧客乙消費3400元，可以抽獎三次)。如圖1，在圓盤上繪制了標(biāo)有A，B，C，D的八個扇形區(qū)域，每次抽獎時由顧客按動按鈕使指針旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)結(jié)束時指針會隨機(jī)停在圓盤上的某一個位置，顧客獲獎的獎次由指針?biāo)竻^(qū)域決定(指針與區(qū)域邊界線粗細(xì)忽略不計)。商家規(guī)定：指針停在標(biāo)A，B，C，D的扇形區(qū)域分別對應(yīng)的獎金為200元、150元、100元和50元。已知標(biāo)有A，B，C，D的扇形區(qū)域的圓心角成等差數(shù)列，且標(biāo)D的扇形區(qū)域的圓心角是標(biāo)A的扇形區(qū)域的圓心角的4倍．
(I)某顧客只抽獎一次，設(shè)該顧客抽獎所獲得的獎金數(shù)為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(II)如圖2，該商場統(tǒng)計了活動期間一天的顧客消費情況．現(xiàn)按照消費金額分層抽樣選出15位顧客代表，其中獲得獎金總數(shù)不足100元的顧客代表有7位．現(xiàn)從這7位顧客代表中隨機(jī)選取兩位，求這兩位顧客的獎金總數(shù)和仍不足100元的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知直線
： 
與圓
相交的弦長等于橢圓
： 
（
）的焦距長．
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知
為原點，橢圓
與拋物線
（
）交于
、
兩點，點
為橢圓
上一動點，若直線
、
與
軸分別交于
、
兩點，求證： 
為定值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為
，且成績分布在
的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中
構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.
（1）求的值；
（2）填寫下面
列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？
文科生 | 理科生 | 合計 | |
獲獎 | 6 | ||
不獲獎 | |||
合計 | 400 |
（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為
，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：
，其中
.
| .15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，設(shè)雙曲線
的上焦點為
，上頂點為
，點
為雙曲線虛軸的左端點，已知
的離心率為
，且
的面積
.
（1）求雙曲線
的方程；
（2）設(shè)拋物線
的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為
，動直線
與
相切于點
，與
的準(zhǔn)線相交于點
，試推斷以線段
為直徑的圓是否恒經(jīng)過
軸上的某個定點
？若是，求出定點
的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.
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