Question

【題目】如圖，設(shè)雙曲線(xiàn)的上焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)虛軸的左端點(diǎn)，已知的離心率為，且的面積.

（1）求雙曲線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，動(dòng)直線(xiàn)與相切于點(diǎn)，與的準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)，試推斷以線(xiàn)段為直徑的圓是否恒經(jīng)過(guò)軸上的某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）以為直徑的圓恒經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）由離心率得，再由的面積得，解方程組得.（2）先轉(zhuǎn)化條件為恒等式問(wèn)題：存在定點(diǎn)滿(mǎn)足題設(shè)條件，則對(duì)任意點(diǎn)恒成立，再設(shè)點(diǎn)，根據(jù)條件求出，利用向量數(shù)量積得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，最后根據(jù)恒等式得，解出定點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：解：（1）由已知，即，則，即，得， ，

又，則，得.

從而， ，所以雙曲線(xiàn)的方程為.

（2）由題設(shè)，拋物線(xiàn)的方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，

由，得，設(shè)點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為，

即，聯(lián)立，得，

假設(shè)存在定點(diǎn)滿(mǎn)足題設(shè)條件，則對(duì)任意點(diǎn)恒成立，

因?yàn)?/span>， ，則，

即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，

所以，即，故以為直徑的圓恒經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn).