Question

已知過(guò)拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)作直線與C分別相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上．命題甲：直線BM與x軸平行；命題乙：直線AM過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．那么，命題甲是命題乙成立的（　�。�

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線方程為x=my+1與拋物線方程聯(lián)立，表示出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再利用斜率研究是否A，B，C三點(diǎn)共線 或BM與x軸是否平行．

解答：解：設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F（1，0）的直線方程為x=my+1 代入拋物線方程，消去x，并整理得，y²-4my-4=0，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則y₁y₂=-4，繼而兩邊平方，16=16x₁x₂，∴x₁x₂=1
   若直線BM與x軸平行，則B（-1，y₂），此時(shí)k_OA=

y1

x1

=

4

y1

=

4

- 4 y2

=y₂=k_OM，k，o，m三點(diǎn)共線，即直線AM過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．
  反之，若直線AM過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線AM的方程為 y=

y1

x1

x，，與拋物線準(zhǔn)線方程x=-1聯(lián)立得B的縱坐標(biāo)為y=-

y1

x1

=-

4

y1

=y₂，所以直線BM與x軸平行
 綜上所述甲是乙成立的充要條件
 故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，直線和拋物線位置關(guān)系，及充要條件的判斷．本題中設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F（1，0）的直線方程為x=my+1，可以避免對(duì)斜率是否存在的討論．