Question

已知過(guò)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，斜率為2

2

的直線交拋物線于A(x1，y2)，B(x2，y2)，且|AB|=

9

2

（1）求該拋物線的方程；
（2）在拋物線C上求一點(diǎn)D，使得點(diǎn)D直線y=x+3的距離最短．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線AB的方程與y²=2px聯(lián)立，結(jié)合：|AB|=x₁+x₂+p=

9

2

，可求拋物線的方程；
（2）設(shè)D（x，y），求出點(diǎn)D直線y=x+3的距離，利用配方法求最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）直線AB的方程是y=2

2

（x-

p

2

），與y²=2px聯(lián)立，有4x²-5px+p²=0，
∴x₁+x₂=

5p

4

．
由拋物線定義得：|AB|=x₁+x₂+p=

9

2

∴p=2，∴拋物線方程是y²=4x．
（2）設(shè)D（x，y），則點(diǎn)D直線y=x+3的距離為

|x-y+3|

2

=

| y2 4 -y+3|

2

=

| 1 4 (y-2)2+2|

2

，
∴y=2時(shí)，點(diǎn)D直線y=x+3的距離最短為

2

，此時(shí)D（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．