Question

【題目】已知函數(shù)， （為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析:(1)對函數(shù) 進行求導(dǎo),根據(jù)基本不等式得出 的范圍,按照 的最小值是否在定義域內(nèi)分兩類討論,: ①當(dāng)， 在上單調(diào)遞增，所以沒有極值點；②當(dāng)，轉(zhuǎn)化為方程正數(shù)解的個數(shù);(2) 函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，轉(zhuǎn)化為由兩個不同的根，通過參變分離,構(gòu)造新的函數(shù),求導(dǎo)判斷單調(diào)性與最值,求出參數(shù)的范圍.

試題解析:（Ⅰ），

∵，∴，

①當(dāng)，即時， 對恒成立， 在上單調(diào)遞增，所以沒有極值點；

②當(dāng)，即時，方程有兩個不等正數(shù)解， ，

，

不妨設(shè)，則當(dāng)時， ， 為增函數(shù)；當(dāng)時， ， 為減函數(shù)； 時， ， 為增函數(shù)，所以， 分別為極大值點和極小值點，即有兩個極值點．

綜上所述，當(dāng)時， 沒有極值點；當(dāng)時， 有兩個極值點．

（Ⅱ）令，得，即，

∵，∴，

令（），

，

∵，∴時， ， 為減函數(shù)；

時， ， 為增函數(shù)，∴，

當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

∵函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有兩個不同交點，∴實數(shù)的取值范圍為．