Question

【題目】設(shè)a＞0， 是R上的偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a＞0， 是R上的偶函數(shù)．

∴f（﹣x）=f（x），即 + = ，

∴ +a2x= + ，

2x（a﹣ ）﹣ （a﹣ ）=0，

∴（a﹣ ）（2x+ ）=0，∵2x+ ＞0，a＞0，

∴a﹣ =0，解得a=1，或a=﹣1（舍去），

∴a=1；

（2）證明：由（1）可知 ，

∴

∵x＞0，

∴22x＞1，

∴f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增

【解析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)f（﹣x）=f（x），代入即可求出a的值；（2）由（1）求出了f（x）的解析式，對f（x）進行求導(dǎo)，證明其導(dǎo)數(shù)大于0即可；
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．