Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（參考數(shù)據(jù)： ）

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若時，函數(shù)有三個零點，分別記為，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),根據(jù)參數(shù)a討論：當(dāng)時， 是常數(shù)函數(shù)，沒有單調(diào)性．當(dāng)時，先減后增；當(dāng)時，先增后減；（2）先化簡方程，整體設(shè)元轉(zhuǎn)化為一元二次方程： ．其中，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像確定根的取值范圍，進而可證不等式.

試題解析：解：（1）因為的定義域為實數(shù)，

所以．

①當(dāng)時， 是常數(shù)函數(shù)，沒有單調(diào)性．

②當(dāng)時，由，得；由，得．

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

③當(dāng)時，由得， ； 由，得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）因為，

所以，即．

令，則有，即．

設(shè)方程的根為，則，

所以是方程的根．

由（1）知在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

且當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

如圖，依據(jù)題意，不妨取，所以，

因為，

易知，要證，即證．

所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，所以．