Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過定點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求斜率的值；

（Ⅲ）若（Ⅱ）中的直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在上，試探究使的面積為的點(diǎn)共有幾個(gè)？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和直線和圓相切的條件,結(jié)合的關(guān)系,解方程可得,進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線方程為,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程可得斜率；（Ⅲ）求得圓心到直線的距離，圓的弦長，由三角形的面積公式可得到的距離，結(jié)合半徑與圓心到直線的距離之差的關(guān)系，即可判斷的個(gè)數(shù).

試題解析：（Ⅰ）原點(diǎn)到直線的距離.

所以，橢圓的方程為.

（Ⅱ）將直線與橢圓聯(lián)立，消去，整理得，由韋達(dá)定理得.

.

.

令，得.

（Ⅲ）由（2）知，直線的方程為或.

原點(diǎn)到直線的距離，弦長.

若上存在點(diǎn)使的面積為，則點(diǎn)到直線的距離

.

當(dāng)直線的斜率時(shí)，有4個(gè)點(diǎn)使面積為；當(dāng)直線的斜率時(shí)，有4個(gè)點(diǎn)使面積為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.