Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

(1)證明是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)證明： .

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合題中所給的遞推關(guān)系可得： ，據(jù)此可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可得，據(jù)此進(jìn)行放縮后求和即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3，所以＝3，

所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1＋＝，公比為3，

所以an＋＝·3n－1，

因此{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)．

(2)由(1)知：an＝，所以＝，

因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí)，3n－1≥2·3n－1，

所以≤，

于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝＜，

所以＋＋…＋＜.