Question

【題目】（1）求對(duì)稱軸是軸，焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過拋物線焦點(diǎn)的直線它交于兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意知道焦點(diǎn)就是直線和x軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義得到方程即可；

（2）先考慮直線的斜率不存在時(shí)的情況；再考慮直線斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線和拋物線根據(jù)韋達(dá)定理得到中點(diǎn)坐標(biāo)為，再消參即可。

解析：

（1）對(duì)稱軸是軸則頂點(diǎn)在焦點(diǎn)在軸

所以，則， ，

.

（2）由題知拋物線焦點(diǎn)為，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則焦點(diǎn)弦方程為，

代入拋物線方程得所以，由題意知斜率不等于0，

方程是一個(gè)一元二次方程，由韋達(dá)定理：

所以中點(diǎn)坐標(biāo)：

代入直線方程

中點(diǎn)縱坐標(biāo)；

即中點(diǎn)為

消參數(shù)，得其方程為

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的中點(diǎn)是，符合題意，

綜上所述，答案為.