Question

【題目】已知，函數(shù)，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間

（2）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)間，上是增函數(shù)；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)增減性

（2）先對(duì)求導(dǎo)，可判斷單調(diào)遞增，再通過(guò)賦值和可判斷存在實(shí)數(shù)

，使得，再通過(guò)討論在零點(diǎn)處的最小值是小于零還是大于零來(lái)進(jìn)一步判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)

（1）的定義域?yàn)?/span>，且，則，,

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)

所以，所以在上，，

所以在區(qū)間，上是增函數(shù).

（2）由題意知，

令，因?yàn)?/span>，

所以在上單調(diào)遞增.

又，

.

所以存在實(shí)數(shù)，使得.

在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù).

所以的最小值是，其中滿足，即，

所以

①當(dāng)，即時(shí)，的最小值為0，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)，此時(shí).

由的單調(diào)性，可得；

③當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn).

又，所以，

由的單調(diào)性，可得.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).