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        1. 函數(shù)f(x)=ax3-2bx2+cx+4d (a,b,c,d∈R)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,且x=1時(shí),f(x)取極小值為-.
          (1)求a,b,c,d的值;
          (2)證明:當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),圖象上不存在兩點(diǎn)使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直;
          (3)若x1,x2∈[-1,1]時(shí),求證:|f(x1)-f(x2)|≤.
          (1)a=,c=-1,b=0,d=0(2)證明略(3)證明略
          (1)解 ∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,
          ∴對任意實(shí)數(shù)x有f(-x)=-f(x),
          ∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d,
          即bx2-2d=0恒成立.
          ∴b=0,d=0,∴f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c.
          ∵x=1時(shí),f(x)取極小值-,
          ∴3a+c=0,a+c=-.解得a=,c=-1.
          (2)證明 假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則由f′(x)=x2-1,知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k1=x-1,k2=x-1,且(x-1)·(x-1)=-1.(*)
          ∵x1,x2∈[-1,1],∴x-1≤0,x-1≤0,
          ∴(x-1)·(x-1)≥0.這與(*)式相矛盾,故假設(shè)不成立.
          ∴圖象上不存在符合條件的兩點(diǎn).
          (3)證明 令f′(x)=x2-1=0,則x=±1.
          ∴當(dāng)x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0;
          x∈(-1,1)時(shí)f′(x)<0.
          ∴f(x)在[-1,1]上是減函數(shù),且f(x)max=f(-1)=,
          f(x)min=f(1)=-.
          ∴在[-1,1]上,|f(x)|≤,∴當(dāng)x1,x2∈[-1,1]時(shí),
          |f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤+=.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知函數(shù)
          (1)若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線,求的范圍;
          (2)若,(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)證明對任意的,,不等式恒成立.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=,b為常數(shù).
          (1)證明:函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)各有一個(gè);
          (2)若函數(shù)f(x)的極大值為1,極小值為-1,試求a的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知在R上單調(diào)遞增,記的三內(nèi)角的對應(yīng)邊分別為,若時(shí),不等式恒成立.
          (Ⅰ)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
           。á颍┣蠼的取值范圍;
          (Ⅲ)求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          (本題滿分15分)函數(shù)處取得極小值–2.(I)求的單調(diào)區(qū)間;(II)若對任意的,函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像至多有一個(gè)交點(diǎn).求實(shí)數(shù)的范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          設(shè)函數(shù)
          (Ⅰ)若,           
          ( i )求的值;
          ( ii)在
          (Ⅱ)當(dāng)上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍。
          (參考數(shù)據(jù)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn1,(x≠0,n∈N*).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          設(shè)函數(shù)f(x)=ax+4,若f′(1)=2,則a等于
          A.2B.-2C.3D.不確定

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          (本小題滿分12分)已知函數(shù)(x>0)在x = 1處取得極值,其中a,b,c為常數(shù)。
          (1)試確定a,b的值;        (2) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (3)若對任意x>0,不等式恒成立,求c的取值范圍。

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          同步練習(xí)冊答案