Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.

（1）證明：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（3）點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）在四棱錐中， 平面，得到，由四邊形為直角梯形，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面，進而得到．

（2）以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（3）由（2），設，利用換元法求得，結合在上的單調性，即可計算得到結論．

（1）由題意，在四棱錐中，平面，

因為平面，所以，

又由四邊形為直角梯形，所以，

因為，且平面，

所以平面，

又因為平面，所以．

（2）以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，

可得,

由題意，可得，又由，可得平面，

所以是平面的一個法向量，

又由，

設平面的法向量為，

由，取，可得，

所以，

所以平面與平面所成二面角的余弦值為．

（3）由（2）可得，設，

又，則，

又，從而，

設，

則，

當且僅當時，即時，的最大值為，

因為在上是減函數，此時直線與所成的角取得最小值，

又因為，所以.