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        1. 如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠C=90°,側(cè)棱與底面所成的角為α(0°<α<90°),點(diǎn)B1在底面上的射影D落在BC上.
          (1)求證:AC⊥平面BB1C1C;
          (2)當(dāng)α為何值時(shí),AB1⊥BC1,且使點(diǎn)D恰為BC中點(diǎn)?
          (3)(理科做)當(dāng)α=arccos
          1
          3
          ,且AC=BC=AA1時(shí),求二面角C1-AB-C的大。
          (1)證明:∵B1D⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴B1D⊥AC
          又∵BC⊥AC,B1D∩BC=D,
          ∴AC⊥平面BB1C1C;
          (2)∵B1D⊥面ABC,
          ∴B1D⊥AC,
          又∵AC⊥BC,BC∩B1D=D,
          ∴AC⊥面BB1C1C.
          ∵AB1⊥BC1,
          ∴由三垂線定理可知,B1C⊥BC1,即平行四邊形BB1C1C為菱形,
          又∵B1D⊥BC,且D為BC的中點(diǎn),
          ∴B1C=B1B,即△BB1C為正三角形,
          ∴∠B1BC=60°,
          ∵B1D⊥面ABC,且點(diǎn)D落在BC上,
          ∴∠B1BC即為側(cè)棱與底面所成的角,
          ∴α=60°.
          (3)C1作C1E⊥BC,垂足為E,則C1E⊥平面ABC.過(guò)E作EF⊥AB,垂足為F,由三垂線定理得C1E⊥AB.
          ∴根據(jù)二面角平面角的定義可得:∠C1FE是所求二面角C1-AB-C的平面角.
          設(shè)AC=BC=A1A=a,
          在Rt△CC1E中,由∠C1CE=α=arccos
          1
          3
          ,可得C1E=
          2
          2
          3
          a,
          ∴在Rt△BEF中,∠EBF=45°,EF=
          2
          2
          BE=
          2
          2
          3
          a,
          ∴∠C1FE=45°.
          故所求的二面角C1-AB-C為45°.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          在直角梯形ABCD中,∠D=∠BAD=90°,AD=DC=
          1
          2
          AB=1,將△ADC沿AC折起,使D到D′.若二面角D′-AC-B為60°,則三棱錐D′-ABC的體積為______.

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          如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=
          2
          ,AB=1
          ,E是DD1的中點(diǎn).
          (1)求證:AC⊥B1D;
          (2)求二面角E-AC-B的大。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

          已知二面角α-l-β的大小為60°,點(diǎn)A∈α,AC⊥l,C為垂足,點(diǎn)B∈β,BD⊥l,D為垂足,若AB=2,AC=BD=1,則CD=______.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱AA1=a,底面ABCD的邊長(zhǎng)AB=2a,BC=a,E為C1D1的中點(diǎn);
          (1)求證:DE⊥平面BCE;
          (2)求二面角E-BD-C的正切值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

          直二面角α-l-β的棱l上有一點(diǎn)A,在平面α,β內(nèi)各有一條射線AB,AC與l成45°,AB?α,AC?β,則∠BAC=______.

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          如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).
          (Ⅰ)求證:平面PAC⊥平面PBC;
          (Ⅱ)若AB=2,AC=1,PA=1,求證:二面角C-PB-A的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,E為棱CC1的中點(diǎn),已知AB=
          2
          ,BB1=2,BC=1.
          (1)證明:BE是異面直線AB與EB1的公垂線;
          (2)求二面角A-EB1-A1的大。
          (3)求點(diǎn)A1到面AEB1的距離.

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          設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,給出下列命題:
          ①若α∥β,m?β,n?α,則m∥n;
          ②若α∥β,m⊥β,n∥α,則m⊥n;
          ③若α⊥β,m⊥α,n∥β,則m∥n;
          ④若α⊥β,m⊥α,n⊥β,則m⊥n.
          上面命題中,所有真命題的序號(hào)為________.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案