Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n²-na_n+λ（n∈N^*，λ∈R）．
（Ⅰ）對?n∈N^*，a_n≥2n恒成立的充要條件為λ≥-2；
（Ⅱ）若λ=-2，證明：

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)充要條件的定義分別證明充分性和必要性，即可得到證明對?n∈N^*，a_n≥2n恒成立的充要條件為λ≥-2；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用放縮法，即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）先證明必要性：由題意知?n∈N^*，a_n≥2n恒成立，
則當(dāng)n=2時(shí)，a₂=6+λ≥2×2，得出λ≥-2，成立．
充分性：當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立，
假設(shè)當(dāng)n=k，（k≥2）時(shí)，a_k≥2k成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=a_k²-ka_k+λ=a_k（a_k-k）+λ≥2k²-2=2（k+1）（k-1）≥2（k+1），
故對所有的n≥2，有a_n≥2n恒成立，
故a_n≥2n恒成立的充要條件為λ≥-2．
（Ⅱ）當(dāng)λ=-2．時(shí)，a_n≥2n，
即a_n+1-2=a_n²-na_n-4=a_n（a_n-n）-4≥na_n-4≥2（a_n-2）＞0，（n≥2），
則

1

an-2

≤

1

2

×

1

an-1-2

≤…≤

1

2n-2

×

1

a2-2

=

1

2n-1

，（n≥3）

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-

1

2n-1

＜2．
即不等式成立．

點(diǎn)評：本題主要考查充要條件的證明，以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．