Question

已知：函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，f（2）=4
（1）符合上述條件的函數(shù)f（x）有多少個？
（2）寫出三個符合上述條件的函數(shù)；
（3）是否存在滿足上述條件的形式為y=4x-

ax+b

的函數(shù)？如果存在，求出這樣的函數(shù)，并求出該函數(shù)的值域；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）上只知道兩點，故函數(shù)不能確定，符合上述條件的函數(shù)f（x）有無數(shù)個；
（2）若f（x）為一次函數(shù)，可由兩點式直接寫出直線方程即f（x）=3x-2，
若f（x）為二次方程，設f（x）=ax²+bx+c，由條件

f(1)=a+b+c=1 f(2)=4a+2b+c=4

，
得3a+b=3，a、b取一些特值即可．如：f（x）=x²，f（x）=2x²-3x+2等．
（3）假設存在，則

4- a+b =1 8- 2a+b =4

，解得

a=7 b=2

，故y=4x-

7x+2

令

7x+2

=t(t≥0)，則x=

t2-2

7

，則原函數(shù)變?yōu)閥=

4

7

t2-t-

8

7

(t≥0)
當t=

7

8

時，函數(shù)有最小值-

163

112

所以函數(shù)的值域為[-

163

112

，+∞）