Question

如圖，斜率為1的直線過拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于兩點(diǎn)A，B，

（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）設(shè)C為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括A，B兩點(diǎn)），求的面積S的最大值；
（3）設(shè)P是拋物線上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB分別交拋物線的準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)，證明M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值（僅與p有關(guān)）

Answer 1

（1）（2）（3），設(shè)
直線PA的方程，

試題分析：設(shè)
（1）由條件知直線由消去y，得………1分
由題意，判別式由韋達(dá)定理，
由拋物線的定義，從而所求拋物的方程為………3分
（2）設(shè)。由（1）易求得
則，點(diǎn)C到直線的距離
將原點(diǎn)O（0，0）的坐標(biāo)代入直線的左邊，得
而點(diǎn)C與原點(diǎn)O們于直線的同側(cè)，由線性規(guī)劃的知識(shí)知
因此……6分由（1），|AB|=4p。

由知當(dāng)…8分
（3）由（2），易得設(shè)。
將代入直線PA的方程
得同理直線PB的方程為
將代入直線PA，PB的方程得




點(diǎn)評(píng)：本題（1）中應(yīng)用焦點(diǎn)弦公式計(jì)算較簡單，（2）（3）對(duì)于高二期末考試難度大，不建議采用