Question

已知向量

OA

=

α

，

OB

=

β

，

α

、

β

的夾角為

π

3

，|

α

-

β

|=1，則△AOB的最大面積是

3

4

．

Answer 1

分析：先根據(jù)

α

、

β

的夾角為

π

3

，|

α

-

β

|=1，得出兩向量模之積取得最大值1，再利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答：解：設(shè)|

OA

|=a，|

OB

|=b
∵

α

、

β

的夾角為

π

3

，|

α

-

β

|=1，
∴a2+b2-2abcos

π

3

=1
∴a²+b²-ab=1
∴a²+b²-ab=1≥2ab-ab
∴ab≤1
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，ab取得最大值1
∵△AOB的面積

1

2

absin

π

3

=

3

4

ab
∴△AOB的最大面積是

3

4

故答案為：

3

4

點(diǎn)評：本題綜合考查余弦定理、正弦定理，考查基本不等式的運(yùn)用，確定兩向量模之積的最大值是解題的關(guān)鍵．