Question

（2010•重慶一模）已知向量

OA

=（mcosα，msinα）（m≠0），

OB

=（-sinβ，cosβ

)

．其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）若α=β+

π

6

且m＞0，求向量

OA

與

OB

的夾角；
（II）當(dāng)實(shí)數(shù)α，β變化時(shí)，求實(shí)數(shù)|

OA

|-2|

OB

|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)它們的夾角為θ，利用向量的數(shù)量積公式表示出cosθ，將已知條件 α=β+

π

6

代入，利用特殊角的三角函數(shù)值求出兩個(gè)向量的夾角．
（II）先將|

OA

|-2|

OB

|利用向量模的計(jì)算公式表示成

1+m2+2msin(β-α)

-2，再利用三角函數(shù)的值域求出它的最大值即可．

解答：解：（I）設(shè)它們的夾角為θ，則：
cosθ=

OA • OB

| OA || OB |

=

m(-cosαsinβ+sinαcosβ)

m

=sin(α-β)=sin

π

6

=

1

2

，
故θ=

π

3

…（6分）
（II）|

AB

|-2|

OB

|=

(-sinβ-mcosα)2+(cosβ-msinα)2

-2
=

1+m2+2msin(β-α)

-2…（10分）
所以當(dāng)m＞0時(shí)，原式的最大值是m-1；
當(dāng)m＜0時(shí)，原式的最大值是-m-1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：求向量的夾角問題，一般利用向量的數(shù)量積公式來解決；解決向量的模的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來解決．