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        1. 已知向量
          OA
          =(2
          2
          ,0),O是坐標(biāo)原點,動點 M 滿足:|
          OM
          +
          OA
          |+|
          OM
          -
          OA
          |=6.
          (1)求點 M 的軌跡 C 的方程;
          (2)是否存在直線 l 過 D(0,2)與軌跡 C 交于 P、Q 兩點,且以 PQ 為直徑的圓過原點,若存在,求出直線 l 的方程;若不存在,說明理由.
          分析:(1)設(shè) B(-2
          2
          ,0),則|
          OM
          +
          OA
          |+|
          OM
          -
          OA
          |=|
          OM
          +
          OB
          |+|
          OM
          -
          OA
          |=|
          MB
          |+|
          MA
          |=6,所以M 的軌跡為以 A、B 為焦點,長軸長為6的橢圓,由此能求出M的軌跡C的方程.
          (2)設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+2,由 
          y=kx+2
          x2
          9
          +y2=1
          得(1+9k2) x2+36kx+27=0,再由根的判別式和韋達定理進行求解.
          解答:解:(1)設(shè) B(-2
          2
          ,0)…(1分)
          則|
          OM
          +
          OA
          |+|
          OM
          -
          OA
          |=|
          OM
          +
          OB
          |+|
          OM
          -
          OA
          |=|
          MB
          |+|
          MA
          |=6
          ∴M 的軌跡為以 A、B 為焦點,長軸長為 6 的橢圓
          由c=2
          2
          ,2a=6⇒a=3⇒b=1              …(5分)
          ∴M 的軌跡 C的方程為 
          x2
          9
          +y2=1           …(6分)
          (2)設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+2(k≠0且k存在),…(7分)
          由 
          y=kx+2
          x2
          9
          +y2=1
          得x2+9 (kx+2)2=9,
          即 (1+9k2) x2+36kx+27=0         …(8分)
          ∴△=(36k)2-4×27 (1+9k2)>0
          即 9k2-3>0,∴k<-
          3
          3
          或k>
          3
          3
            (*)…(9分)
          設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2
          ∴x1+x2=-
          36k
          1+9k2
          ,x1x2=
          27
          1+9k2
                          …(10分)
          ∵以 PQ 為直徑的圓過原點,
          ∴x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0
          ∴(1+k2) x1 x2+2k (x1+x2)+4=0
          即  
          27(1+k2)
          1+9k2
          -
          72k2
          1+9k2
          +4=0
          解得k=±
          31
          3
          滿足 (*)
          ∴滿足條件的直線 l 存在,
          且直線 l 的方程為:
          31
          x-3y+6=0或 
          31
          x+3y-6=0  …(12分)
          點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知向量
          OA
          =(2,0),
          OC
          =
          AB
          =(0,1)
          ,動點M到定直線y=1的距離等于d,并且滿足
          OM
          AM
          =k(
          CM
          BM
          -d2)
          ,其中O是坐標(biāo)原點,k是參數(shù).
          (1)求動點M的軌跡方程,并判斷曲線類型;
          (2)當(dāng)k=
          1
          2
          時,求|
          OM
          +2
          AM
          |
          的最大值和最小值;
          (3)如果動點M的軌跡是圓錐曲線,其離心率e滿足
          3
          3
          ≤e≤
          2
          2
          ,求實數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知向量
          OA
          =(2,3),
          OB
          =(4,5),
          OC
          =(1,k)
          ,若A,B,C三點共線,則k=
          2
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知向量
          OA
          =(2
          2
          ,0),O是坐標(biāo)原點,動點 M 滿足:|
          OM
          +
          OA
          |+|
          OM
          -
          OA
          |=6.
          (1)求點 M 的軌跡 C 的方程;
          (2)是否存在直線 l 過 D(0,2)與軌跡 C 交于 P、Q 兩點,且以 PQ 為直徑的圓過原點,若存在,求出直線 l 的方程;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知向量
          OA
          =(2,0),
          OC
          =
          AB
          =(0,1)
          ,動點M到定直線y=1的距離等于d,并且滿足
          OM
          AM
          =k(
          CM
          BM
          -d2)
          ,其中O是坐標(biāo)原點,k是參數(shù).
          (1)求動點M的軌跡方程,并判斷曲線類型;
          (2)當(dāng)k=
          1
          2
          時,求|
          OM
          +2
          AM
          |
          的最大值和最小值;
          (3)如果動點M的軌跡是圓錐曲線,其離心率e滿足
          3
          3
          ≤e≤
          2
          2
          ,求實數(shù)k的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊答案