Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）若的圖像與直線相切，求

（Ⅱ）若且函數(shù)的零點(diǎn)為,

設(shè)函數(shù)試討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).（為自然常數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）（2）有兩個不同的零點(diǎn)

【解析】分析：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，故可以關(guān)于的方程組，從該方程組解得．

（Ⅱ）因，故為減函數(shù)，結(jié)合可得的零點(diǎn)．又是分段函數(shù)，故分別討論在上的單調(diào)性，結(jié)合利用零點(diǎn)存在定理得到有兩個不同的零點(diǎn)．

詳解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)，所以，故，從而

又切點(diǎn)在函數(shù)上，所以即，故，

解得， ．

（Ⅱ）若且函數(shù)的零點(diǎn)為，

因?yàn)?/span>，，為上的減函數(shù)，

故．

當(dāng)時，，

因?yàn)?/span>，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，，

則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，則,

所以在上單調(diào)遞減．

當(dāng)時，，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．

又，且；

又，

所以函數(shù)在區(qū)間上存在一個零點(diǎn)， 在區(qū)間上存在一個零點(diǎn)．

綜上，有兩個不同的零點(diǎn)．