Question

【題目】已知直線，函數(shù).

（1）當(dāng)，時，證明：曲線在直線的上方；

（2）若直線與曲線有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明過程詳見解析（2）

【解析】

（1）可令，求二階導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性即可得證；

（2）令求得導(dǎo)數(shù)，討論a的符號，以及函數(shù)s（x）的單調(diào)性，求得最值，解不等式即可得到所求范圍.

（1）令，則，

令，則

當(dāng)時，，所以在上，為增函數(shù)，

所以，從而也為增函數(shù)，得.

故，即曲線在直線的上方.

（2）令，則，

當(dāng)時，，得在上單調(diào)遞減，不合題意；

當(dāng)時，令，得，

所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

由已知函數(shù)有兩個零點，

所以，得，

此時，所以在上有且只有一個零點.

由（1）得當(dāng)時，

，

所以.

由（1）知，當(dāng)時，得，則

所以，所以在上有且只有一個零點，

綜上，.