Question

【題目】已知圓，定點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程;

（2）若過(guò)定點(diǎn)的直線交曲線于不同的兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)，之間），且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）由點(diǎn)在線段的垂直平分線上，得到，根據(jù)橢圓的定義，即可求得曲線的方程；

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及向量的運(yùn)算，即可求解.

（1）由題意，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則有，

可得，

由橢圓的定義，可得點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，

且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，所以，，

又由，所以曲線的方程為.

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，由，得；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

代入橢圓方程，整理得，

由已知得，解得，

設(shè)，，則，，

又由，得，即，

所以，

由，得，解得，

又由，得.

綜上，的取值范圍是.