Question

已知為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為1，最小值為-2.
（I）求橢圓的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)作不與軸垂直的直線(xiàn)交該橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)。試判斷的大小是否為定值，并說(shuō)明理由.

Answer 1

（I）  （II）定值.

試題分析：（I）M是橢圓上的點(diǎn)， 可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值，可求得橢圓方程中的參數(shù)和；（II）利用直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交的一般方法，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，求,繼而判定是否為定值.
試題解析：（I）,設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021418672737.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而求得，故橢圓的方程為;
（II）設(shè)直線(xiàn)的方程為,
聯(lián)立方程組可得，化簡(jiǎn)得：,
設(shè)，則，又, ，由得,
所以,所以，所以為定值.