Question

【題目】如圖，已知橢圓的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交橢圓于， 兩點，線段的中點為，直線交橢圓于， 兩點．

（I）求橢圓的方程．

（II）求證：點在直線上．

（III）是否存在實數(shù)，使得的面積是面積的倍？若存在，求出的值．若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的相交問題、韋達定理、中點坐標公式等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，利用已知的離心率和左焦點坐標，得到基本量a,b,c的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，設(shè)出點A、B、M的坐標和直線的方程，令直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用所得方程，根據(jù)韋達定理得到，從而得到的坐標， 由直線方程獲得，驗證是否在上即可；第三問，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)已知條件將題目轉(zhuǎn)化為C點坐標與M點坐標的關(guān)系，通過直線與橢圓聯(lián)立消參，得到的坐標，令，解出k的值，k有解，即存在.

試題解析：（1）由題意可知， ，于是.

所以，橢圓的標準方程為程. 3分

（2）設(shè)， ， ，

即.

所以， ， ， ，

于是.

因為，所以在直線上. 8分

（3）由（2）知點A到直線CD的距離與點B到直線CD的距離相等，

若BDM的面積是ACM面積的3倍，

則|DM|=3|CM|，因為|OD|=|OC|，于是M為OC中點，；

設(shè)點C的坐標為，則.因為，解得.

于是，解得，所以. 14分