Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)，（）恰為的零點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）

【解析】

試題分析：（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，分 三種情況解 或 的解集，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先求 ，得到 ，根據(jù) ，得到 ，代入 并化簡(jiǎn)為，根據(jù)前面根與系數(shù)的關(guān)系和的取值范圍，得到的取值范圍，通過(guò)設(shè)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)求最小值.

試題解析：（1），，

當(dāng)時(shí)，由，解得，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；由解得，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，故，即在上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）由得，

由已知有兩個(gè)互異實(shí)根，，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，，

因?yàn)?/span>，（）是的兩個(gè)零點(diǎn)，故 ①

②

由②①得：，

解得，

因?yàn)?/span>，得，

將代入得

，

所以，

設(shè)，因?yàn)?/span>，

所以，所以，

所以，所以．

構(gòu)造，得，

則在上是增函數(shù)，

所以，即的最小值為．