Question

已知a，b，c∈N^*，方程ax²+bx+c=0在區(qū)間（-1，0）上有兩個不同的實(shí)根，求a+b+c的最小值．

Answer 1

設(shè)x₁和x₂方程ax²+bx+c=0有兩個相異根，由a，b，c∈N^*，
兩個根都在區(qū)間（-1，0）上，
可得函數(shù)f（x）=ax²+bx+c在區(qū)間（-1，0）上與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，
故有f（-1）=a+c-b＞0，且f（0）=c＞0，且△=b²-4ac＞0，
且 x1+x2=-

b

a

∈（-2，0），且x₁•x₂=

c

a

∈（0，1）．
故c的最小值為1，故有

a+1＞b a＞c=1 b2＞4a

．
當(dāng)a=2時，正整數(shù)b不存在；當(dāng)a=3時，正整數(shù)b不存在；
當(dāng)a=4時，正整數(shù)b不存在；當(dāng)a=5時，存在正整數(shù)b=5．
綜上可得，c的最小值為1，a的最小值為5，b的最小值為5，
故a+b+c的最小值為1+5+5=11．