Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（-

π

2

，

π

2

）
（1）當a=

2

，θ=

π

4

時，求f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；
（2）若f（

π

2

）=0，f（π）=1，求a，θ的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的余弦函數(shù),正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件利用兩角和差的正弦公式、余弦公式化簡函數(shù)的解析式為f（x）=-sin（x-

π

4

），再根據(jù)x∈[0，π]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的最值．
（2）由條件可得θ∈（-

π

2

，

π

2

），cosθ-asin2θ=0 ①，-sinθ-acos2θ=1 ②，由這兩個式子求出a和θ的值．

解答： 解：（1）當a=

2

，θ=

π

4

時，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）
=sin（x+

π

4

）+

2

cos（x+

π

2

）=

2

2

sinx+

2

2

cosx-

2

sinx=-

2

2

sinx+

2

2

cosx
=sin（

π

4

-x）=-sin（x-

π

4

）．
∵x∈[0，π]，∴x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴-sin（x-

π

4

）∈[-1，

2

2

]，
故f（x）在區(qū)間[0，π]上的最小值為-1，最大值為

2

2

．
（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（-

π

2

，

π

2

），
f（

π

2

）=0，f（π）=1，
∴cosθ-asin2θ=0 ①，-sinθ-acos2θ=1 ②，
由①求得sinθ=

1

2a

，由②可得cos2θ=

1+sinθ

-a

=-

1

a

-

1

2a2

．
再根據(jù)cos2θ=1-2sin²θ，可得-

1

a

-

1

2a2

=1-2×

1

4a2

，
求得 a=-1，∴sinθ=-

1

2

，θ=-

π

6

．
綜上可得，所求的a=-1，θ=-

π

6

．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．