Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

1

x

．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）+ax在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）由函數(shù)F（x）在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求F′（x），對其中的參數(shù)a分類討論，考慮在[2，+∞）上，F(xiàn)′（x）≤0和F′（x）≥0恒成立，求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x） 在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在x=1處有極小值，也是最上值f（x）_min=f（1）=1；
（Ⅱ）F（x）=lnx+

1

x

+ax，
∴F′（x）=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)′（x）=

x+1

x2

＞0，F(xiàn)（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，符合題意，
當(dāng)a＜0時(shí)，令g（x）=ax²+x-1，此時(shí)，F(xiàn)（x）在[2，+∞）上只能是單調(diào)遞減，
∴F′（x）≤0，即ax²+x-1≤0，a≤

1-x

x2

=

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
∵

1

x

∈(0，

1

2

]，∴(

1-x

x2

)min=-

1

4

，得a≤-

1

4

；
當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)（x）在[2，+∞）上只能是單調(diào)遞增，
∴F′（x）≥0，即ax²+x-1≥0，令g（x）=ax²+x-1，此時(shí)，g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）≥g（2）=4a+1≥0，得a≥-

1

4

，∴a≥0；
綜上得：a∈(-∞，-

1

4

]∪[0，+∞)．

點(diǎn)評：本題考查了，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，由函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)的范圍，還運(yùn)用了分類討論思想，是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題．屬于中檔題．