【題目】已知函數(shù)
(1)判斷函數(shù)
在
上的單調(diào)性
(2)若
恒成立，求整數(shù)
的最大值
(3)求證：
【答案】（1）函數(shù)
在
上為減函數(shù) （2）整數(shù)
的最大值為3 （3）見解析
【解析】
（1）由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合
，得函數(shù)在上為減函數(shù)；
（2）原命題可轉(zhuǎn)化為即
恒成立，即
，再構(gòu)造函數(shù)
，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可；
（3）由（2）知，
，
，令
，再求和即可證明不等式，得解.
解：（1）因為
，
所以
，，
又因為 
，所以
，
，
所以 ，
即函數(shù)在上為減函數(shù)；
（2）由
恒成立，
即恒成立，
即，
設(shè)，
所以
，，
令
，
則
，
即
在
為增函數(shù)，
又
，
，
即存在唯一的實數(shù)根
，滿足
，且
，
，
當(dāng)
時，
，
，當(dāng)
時，
，
，
即函數(shù)
在
為減函數(shù)，在
為增函數(shù)，
則
，
故整數(shù)的最大值為3；
（3）由（2）知，，，
令，
則 
，
則
=
，
故
.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖（1）是某水上樂園擬開發(fā)水滑梯項目的效果圖，考慮到空間和安全方面的原因，初步設(shè)計方案如下：如圖（2），自直立于水面的空中平臺
的上端點P處分別向水池內(nèi)的三個不同方向建水滑道
，
，
，水滑道的下端點
在同一條直線上，
，
平分
，假設(shè)水滑梯的滑道可以看成線段，均在過C且與
垂直的平面內(nèi)，為了滑梯的安全性，設(shè)計要求
.
（1）求滑梯的高的最大值；
（2）現(xiàn)在開發(fā)商考慮把該水滑梯項目設(shè)計成室內(nèi)游玩項目，且為保證該項目的趣味性，設(shè)計
，求該滑梯裝置（即圖（2）中的幾何體）的體積最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.
（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；
（Ⅱ）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.
附注：
參考數(shù)據(jù)：
，
，
，
≈2.646.
參考公式：相關(guān)系數(shù)
回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)定義在R上的函數(shù)
，當(dāng)
時，
取極大值
，且函數(shù)
的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）求的表達式；
（2）試在函數(shù)的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在
上；
（3）設(shè)
，
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.
（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為
，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平而直角坐標系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
（1）求曲線
和的直角坐標方程；
（2）已知點
是曲線上一點、
分別是和上的點，求
的最大值.
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