Question

已知橢圓的中心在原點，它在x軸上的一個焦點與短軸兩端點連線互相垂直，且此焦點和x軸上的較近端點的距離為4（

2

-1），求橢圓方程．

Answer 1

∵橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，
∴設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
設(shè)短軸的兩個端點分別為A、B，左右焦點分別為F₁、F₂，連結(jié)AF₂、BF₂．
∵一個焦點與短軸兩端點連線互相垂直，
∴AF₂⊥BF₂，
根據(jù)橢圓的對稱性得到△ABF₂是等腰直角三角形，可得|OA|=|0F₂|．
∴b=c，即

a2-c2

=c…①，
又∵焦點和x軸上的較近端點的距離為4（

2

-1），
∴a-c=4（

2

-1）…②，
聯(lián)解①②可得a=4

2

，c=4，可得a²=32，b²=c²=16
所求橢圓的方程為

x2

32

+

y2

16

=1．