Question

已知函數(shù)f（x）=

- x 2   +2x

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若0＜x₁＜x₂＜1，試比較

f(x1)

x1

與

f(x2)

x2

的大��；
（3）設(shè)g（x）=f（x）-kx-2，若函數(shù)g（x）有且只有一個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判定函數(shù)

f(x)

x

在0＜x＜1上的單調(diào)性即可比較

f(x1)

x1

與

f(x2)

x2

的大�。�
（3）令g（x）=0，將方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則2x-x²≥0，即x²-2x≤0，
解得0≤x≤2，即函數(shù)的定義域為[0，2]．
（2）∵

f(x)

x

=

2 x -1

在（0，1）上遞減，
∴當0＜x₁＜x₂＜1時，

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

．
（3）由g（x）=f（x）-kx-2=0，則f（x）=kx+2，
設(shè)y=kx+2，y=f（x），
則函數(shù)y=f（x）的圖象是以（1，0）為圓心，半徑為1的上半圓，
當直線y=kx+2過點C（2，0）時，此時直線的斜率k=-1，兩個圖象有兩個交點，
當直線和圓相切時，由圓心到直線的距離d=

|k+2|

k2+1

=1，
解得k=-

3

4

，
故函數(shù)g（x）有且只有一個零點，則實數(shù)k滿足k=-

3

4

或k＜-1，
即k∈(-∞，-1)∪{-

3

4

}．

點評：本題主要考查函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)零點的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．