Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣a|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（2）若f（x）≤1的解集為[0，2]， =a（m＞0，n＞0），求證：m+4n≥2 +3．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x﹣2|，

則不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等價(jià)為|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，

即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，

當(dāng)x≥2時(shí)，不等式等價(jià)為x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此時(shí)x≥5；

當(dāng)1＜x＜2時(shí)，不等式等價(jià)為2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此時(shí)不等式不成立，此時(shí)無解，

當(dāng)x≤1時(shí)，不等式等價(jià)為﹣x+2﹣x+1≥7，則2x≤﹣4，得x≤﹣2，此時(shí)x≤﹣2，

綜上不等式的解為x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集為（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）

（2）

解：若f（x）≤1的解集為[0，2]，

由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．

即 得a=1，

即 =a=1，（m＞0，n＞0），

則m+4n=（m+4n）（ ）=1+2+ ≥3+2 =2 +3．

當(dāng)且僅當(dāng) ，即m2=8n2時(shí)取等號(hào)，

故m+4n≥2 +3成立

【解析】（1）利用絕對(duì)值的應(yīng)用表示成分段函數(shù)形式，解不等式即可．（2）根據(jù)不等式的解集求出a=1，利用1的代換結(jié)合基本不等式進(jìn)行證明即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用基本不等式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）；變形公式：．