Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）若曲線僅在兩個(gè)不同的點(diǎn)，處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再分類分析討論求解；（2）先依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組，再抽象概括出方程有解，以此為前提構(gòu)造函數(shù)，最后借助導(dǎo)數(shù)使得問(wèn)題獲解。

試題解析：

（1）證明：∵，∴，

∴，令，得.

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上，，∴在區(qū)間上遞減.

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上，，∴在區(qū)間上遞增.

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，∴在區(qū)間上遞增；

在區(qū)間上，，∴在區(qū)間上遞減.

（2）曲線在兩點(diǎn)處的切線的方程分別為

，

.

設(shè)，將代入兩條切線方程，得

，

.

由題可得方程即有且僅有不相等的兩個(gè)實(shí)根.

設(shè)，

.

①當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞增，顯然不成立.

②當(dāng)時(shí)，，解得或.

∴的極值分別為，.

要使得關(guān)于的方程有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

則或.

∵，∴，∴，（1），或.（2）

解（1），得，解（2），得或.

∵，∴的取值范圍為.