Question

【題目】已知函數(shù)的定義域為，對任意實數(shù)，都有.

（1）若， ，且，求， 的值；

（2）若為常數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，

①驗證函數(shù)滿足題中的條件；

②若函數(shù)求函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 解得， ;(2) ①見解析；② 當時，函數(shù)只有1零點；

當或時，函數(shù)有3零點；當是，函數(shù)有5零點.

【解析】試題分析：（1）由題意，取，得，再取，得，

即函數(shù)在內(nèi)為奇函數(shù)，代入化簡即可求解的值.

（2）由函數(shù)是奇函數(shù)，得，得出的解析式，進而求解.

再由，得，令，則，作出圖象，進而分類討論，求得函數(shù)零點的個數(shù).

試題解析：

（1）對題中條件取，得.

再取，得，則，

即函數(shù)在內(nèi)為奇函數(shù).

所以，

又.

解得， .

（2）由函數(shù)是奇函數(shù)，得，則.

此時，滿足函數(shù)是奇函數(shù)，且有意義.

①由，得，則對任意實數(shù)，

有 ，

，

所以.

②由，得，令，則.

作出圖象

由圖可知，當時，只有一個，對應有3個零點；

當時，只有一個，對應只有一個零點；

當時， ，此時， ， .

由

得在時， ，三個分別對應一個零點，共3個.

在時， ，三個分別對應1個，1個，3個零點，共5個.

綜上所述，當時，函數(shù)只有1零點；

當或時，函數(shù)有3零點；

當是，函數(shù)有5零點.