Question

從圓x²+y²-4x-6y+12=0外一點(diǎn)P向圓引切線PT，T為切點(diǎn)，且PT=PO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程     
（2）求PT的最小值．

Answer 1

分析：（1）化圓的一般式為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由切線長等于P到O點(diǎn)的距離列式求得P的軌跡；
（2）由（1）得P得軌跡為直線，把|PT|的值轉(zhuǎn)化為|PO|的值，由點(diǎn)到直線的距離公式求解原點(diǎn)到直線的距離，可得|PT|的最小值．

解答：解：（1）由圓x²+y²-4x-6y+12=0，得（x-2）²+（y-3）²=1．∴圓心Q的坐標(biāo)為（2，3），半徑等于1．
設(shè)P（x，y），則|PT|²=（x-2）²+（y-3）²-1²=x²+y²-4x-6y+12，
|PO|²=x²+y²．
由|PM|=|PO|，得x²+y²-4x-6y+12=x²+y²，
整理得：2x+3y-6=0．
∴點(diǎn)P的軌跡方程為：2x+3y-6=0；
（2）求|PT|的最小值，就是求|PO|的最小值．
在直線2x+3y-6=0上取一點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小，
由“垂線段最短”得，直線OP垂直直線2x+3y-6=0，
由點(diǎn)到直線的距離公式得：
PT的最小值為：

|-6|

22+32

=

6 13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．