Question

從圓x²+y²-4x-6y+12=0外一點(diǎn)P(x₁,y₁),向圓引切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo).

Answer 1

思路點(diǎn)撥：根據(jù)條件,這里的|PM|就是切線長,可以根據(jù)切線長寫出表達(dá)式,也可以根據(jù)條件作等價(jià)轉(zhuǎn)化,再求最小值成立的條件即可.

解：由題設(shè)知|MP|=|PO|,要求使|PM|最小的P點(diǎn)的坐標(biāo)可轉(zhuǎn)化為求P到O的距離最小時(shí)的x₁、y₁的值,這可從題設(shè)出發(fā),找出x₁、y₁之間的關(guān)系.

將圓方程x²+y²-4x-6y+12=0配方可得(x-2)²+(y-3)²=1,則圓心為C(2,3)，半徑r=1,所以切線PM與半徑CM垂直(如圖).

所以|PM|=.

由|MP|=|PO|,可得

.

化簡整理可得2x₁+3y₁=6.

故滿足|MP|=|PO|的P點(diǎn)的軌跡方程是2x+3y=6.

所以|PO|的最小值為O點(diǎn)到此直線的距離,即d=.

從而解方程組

    可得x₁=,y₁=,即滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(,).